女孩子的脸虽然都是同胚的，但是有的正则性好一点，所以这部分女孩子的脸就格外好看。
― 网络
本学期期末考试结束,我终于可以腾出时间来完成这个博客了,这将是我第一次用英语写数学博客.我稍后会把它翻译成中文.听起来很奇怪……为什么我一开始不用中文写,而是强迫自己用英语写,假装是英语母语者呢？哦,据说数学专业的学生都是受虐狂.至少大多数.你知道,“不劳无获.”
我将从基本定义开始.
Def(三维曲线) 一个三维欧氏空间中的参数曲线是一个将实数轴$\mathbb{R}$上的开区间$I = (a,b)$映到$\mathbb{R}^3$的连续映射$\alpha: I \to \mathbb{R}^3$.对于$\alpha = (x(t),y(t),z(t))$, $t$叫做曲线$\alpha$的参数.像集${x(t),y(t),z(t)}$是曲线$\alpha$的图象.
所以,微分几何,我们希望微分学的方法可以被应用.
Def(可微曲线) 一个可微参数曲线是一个连续可微映射. 对于$\alpha = (x(t),y(t),z(t))$, $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$都是$C^\infty$函数.
非微分曲线的一个明显的简单例子是绝对值函数.
上述两个性质,连续性和可微性,似乎足以使欧氏空间中的某条曲线易于分析.然而,所有的教科书都教导我,**“正则性”**被遗忘了12.它们在这里提到的“正则性”到底是什么？我将再次阅读其定义.
Def(正则曲线) 一个可微参数曲线$\alpha: \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$是正则的,如果 $$\forall t \in (a,b), |\alpha’(t)| = \sqrt{[x’(t)]^2 +[y’(t)]^2 + [z’(t)]^2}> 0.$$
我们想确保我们考虑的曲线在每个点上都有一条切线.Frenet标架,一个强大的分析工具,由三个相互正交的向量组成:单位切向量$\bm{t}$,单位主法向量$\bm{n}$,单位副法向量$\bm{b}$. $\bm{n}$和$\bm{b}$都来自于平行于切线的$\bm{t}$.如果$\alpha(t_0)$的导数是个零向量会怎么样？很不幸, $t_0$处很可能不存在切线,而且亲爱的Frenet标架也无法发挥效用.Frent标架只是一个小例子,说明为什么我们到处都需要切线.
e.g. 考虑这样一条平面曲线, $\alpha:\alpha（t）=（t^4，t^2，t^3）$.当然,这是可微曲线.请注意$\alpha’（0）=（0,0,0）$,对于$t=0$,速度矢量为零,因此这条曲线不是正则的。你可以看看下面的图象.注意曲线在$(0,0,0)$那里不平滑.
有些人（像我就是）更喜欢瞎抬杠：非零导数如何证明曲线切线的存在？证据如下.
Proof 设$\alpha: \alpha(t) = (x(t),y(t),z(t))$是一条可微曲线.根据向量函数的导数的定义, $\forall t_0 \in (a,b)$,
$$
\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}\Big\vert_{t_0} = (\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t})\Big\vert_{t_0} = \lim_{t \to t_0} \frac{\alpha(t) - \alpha(t_0)}{t-t_0}.
$$
根据可微性,
$$
\lim_{t \to t_0-0} \frac{\alpha(t_0) - \alpha(t)}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0+0} \frac{\alpha(t) - \alpha(t_0)}{t-t_0},
$$
i.e. $\alpha’(t_0-0) = \alpha’(t_0+0)$.
左切线的单位方向向量是
$$
\bm{e}^-(t_0) = -\lim_{t\to t_0 - 0} \frac{\alpha(t) - \alpha(t_0)}{|\alpha(t) - \alpha(t_0)|};
$$
右切线的单位方向向量是
$$
\bm{e}^+(t_0) = +\lim_{t\to t_0 + 0} \frac{\alpha(t) - \alpha(t_0)}{|\alpha(t) - \alpha(t_0)|}.
$$
显然, iff. $\bm{e}^-(t_0) = \bm{e}^+(t_0) = \bm{e}$, $\alpha$在$t_0$的切线存在,而且它的方向向量就是$\bm{e}$.
$\bm{e}^-(t_0) \parallel \alpha’(t_0-0)$, $\bm{e}^+(t_0) \parallel \alpha’(t_0+0)$.如果$\alpha’(t_0 - 0) = \alpha’(t_0 + 0) = \alpha’(t_0) \neq \bm{0}$, $\bm{e}^-(t_0)$和$\bm{e}^+(t_0)$就能取到相同的方向,因此它们相等.
Q.E.D.
这个证明告诉我们$\alpha’(t_0) \neq \bm{0} \Rightarrow $切线存在.反过来,如果$\alpha’(t_0) = \bm{0}$我们是不是可以说切线一定不存在呢?很抱歉,只需看看这个例子$\alpha: \alpha(t) = (t^3, t^3)$.