最近为考研开始复习了, 按理说我也应该调整为应试复习状态的. 但乍一看时间还早, 不免又犯老毛病开始想东想西了. 好吧我知道这是不对的, 但作为一个典型的INTP选手, 我似乎逃不掉“发散集中”地钻研一个细枝末节的坏习惯.

我们本科数分教材用的是伍胜健的, 昨天刚刚开始复习, 一看实数系的构造, 用的是Dedekind分割来讲的. 我突然想起很早以前翻卓里奇数分, 那本书似乎没有用这个方法. 这下捅篓子了, 我一发不可收拾地开始查阅几本经典的数分教材, 看看都有哪些方法可以等价地构造实数系.（对于复习备考没有一点用……）

方法总结

查阅之后, 我总结大体上有以下几种方法：

1. Dedekind分割方法
2. 无限循环小数方法
3. Couchy列方法
4. 公理方法

具体介绍在后面.

Dedekind分割方法

代表教材：《数学分析-上册》陈纪修¹, 《数学分析-第一册》伍胜健²

我觉得实数最本质的特征是有序性和连续性, 而戴德金分划恰好可以体现这两点.它的定义和证明（主要用了反证法和有理数的稠密性）比较繁琐, 我就简要写下主要思想.

形象地思考, 利用有序性, 我们可以想象所有数都分布在一根数轴上. 在已经定义好有理数系之后, 我们发现分布在数轴上的有理数与有理数之间还是有“空隙”（cf.第一次数学危机）, 这些“空隙”就要求我们去扩充新的数系.

Dedekind教导我们, 可以用一把极薄极薄的刀来把这跟数轴切成两半, 切的位置随意. 因为刀太薄了, 一次只能切在一个数字上面. 那么只有两种情况, 要么切在之前定义好的有理数上（这时称为有理分划）, 要么切在没有定义好的“空隙”上（这时称为无理分划）. 所以, 每一个有理分划都与一个有理数一一对应, 再定义每个不同的无理分划也能对应一个不同无理数, 于是实数系就可以定义为有理数与无理数的并集了（i.e.整根数轴）.

方法优点：思想直观形象, 可以很方便地导出实数系的连续性以及其他重要性质.
方法缺点：定义和细节上的证明复杂难以理解消化.

无限循环小数方法（无限十进制展开方法）

代表教材：《数学分析新讲-第一册》张筑生³, 《数学分析（上册）》陈纪修

这个方法最能和我们小学学到的“有理数就是有限小数或循环小数, 无理数就是无限不循环小数”相接轨, 所以也最容易为大家（尤其是刚刚接触大学数学的本科一年级新生）所接受.

为了避免表示上的歧义, 我们要为无限小数约定如下的等同关系： $$ -0.000\cdots = +0.000\cdots; $$ $$ \pm a_0.a_1\cdots a_p999\cdots = \pm a_0.a_1\cdots (a_p+1)000\cdots \text{（其中$a_p < 9$）}. $$ 这可能会让没有学习数列极限、级数等知识的初学者费解：$0.999\cdots$为什么会等于$1$? 我觉得这算是该方法的一个弊端.

另外一个麻烦之处在于, 对于四则运算结果的存在性和唯一性的证明. 光是想想要对一长串的小数进行加减乘除就让人发怵了, 所以这个证明过程也是非常非常艰辛的！连作者都说：“我们把这部分内容放到本节后的附录中, 供喜欢寻根究底的读者参考.”总的来说, 其证明思路是利用实数的有序性, 找一大一小两个实数去充分夹逼所要的计算结果.

方法优点：概念熟悉易于接受.
方法缺点：有表示歧义的可能, 定义实数的四则运算极其困难.

Couchy列方法

代表教材：《陶哲轩实分析》陶哲轩⁴

关于这个方法我看过的只有Tao这一本, 也是我觉得那么多本书里面讲实数系构造讲得最精彩的一本（第一次看数学书像看小说一样畅快）. 我非常愿意在此对这本书的实数论脉络进行一次梳理.

自然数

首先根据Peano公理给出自然数的定义：

1. 0是一个自然数.（好吧有的人会反驳我说1才是最小的自然数. 我只想说这是意识形态的区别, 您大可把这几条公理中的所有“0”都换成“1”.）
2. 如果n是一个自然数, 那么n的后面一个数也是自然数.
3. 对任意一个自然数, 它的后面一个数不可能是0.
4. 如果两个自然数不相等, 那它们各自的后面一个数也不会相等.
5. （数学归纳法原理） 已知一个命题对自然数0成立. 如果这个命题对某一个自然数n成立时可以推出它对n的后面一个数也成立, 那么这个命题对所有的自然数都成立.

可以举一个例子来说明设立第五条公理的必要性. 考虑一个有序的数列$0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5,\cdots$ 我们发现, 仅凭前四条公理, 可以认为那些带小数部分的“半整数”也算自然数. 但加上第五条公理后就截然不同了. 考虑一个命题：“任意一个自然数加上0.5之后不再是自然数.”显然这条命题对我们熟知的自然数都成立, 而对那些“半整数”则不成立, 所以“半整数”被第五条公理排除在外了.

有了上述的“后面一个数”这样的递增理念, 我们可以轻松定义出自然数的加法运算（累次递增）、乘法运算（累次累次递增）, 并且有了相应的交换律结合律等等.

整数

运用之前定义好的自然数的加法运算, 可以定义整数即为自然数的加法逆运算（减法）, 同时可以扩张序的范围（0不再是排在最前面的数了, 负数有了定义）.

有理数

我们能够找到四个整数满足这样的关系：$ab = cd$. 那么我们可以定义一种计算叫做除法, $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$当且仅当$ab = cd$, 其中$cb \neq 0$（我很好奇能不能创立一个有用的新的数系, 在那里, 零元可以做除数）. 于是, 有理数就可以被定义为整数的除法运算, 有理数的整数次幂也就可以被定义为累次乘法或累次除法了.

借助讨论整数时得到的正负概念, 我们可以定义绝对值运算, 并藉此掌握“距离”这一概念.

既然加法的逆运算是减法, 乘法的逆运算是除法（不考虑0作除数）, 那整数次幂的逆运算是什么呢? 我们当然知道是开整数次方, 但是可以证明, 有理数2开2次方的结果不再是有理数（无法写成两个整数相除的形式）. 嗯, 虽然有理数已经非常稠密了, 但是它们之间还有空隙！

实数（这本书最具特色的部分来了）

有理Cauchy序列

Tao用了层层递进的三个概念来引入Cauchy列.

（$\epsilon$-接近） $a, b\in\mathbb{Q}$, 如果有$d(a,b) = |a-b| \leq \epsilon$, 则称$a$, $b$是$\epsilon$-接近的.

只要两个有理数的距离不大于某个值$\epsilon$, 就可以说它们俩是$\epsilon$-接近. 数学上常常用$\epsilon$指代“极小的距离”.

（$\epsilon$-稳定） 序列{$a_n$}$\in\mathbb{Q}$, 如果$\forall i,j \in\mathbb{N^*}$, 都有$a_i$与$a_j$是$\epsilon$-接近的, 则称序列{$a_n$}是$\epsilon$-稳定的.

比方说序列$1, -1, 1, -1, 1, -1,\cdots$就是2-稳定, 但不是0.5-稳定. 再比如说Fibonacci列$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,\cdots \forall\epsilon$, 都不成立$\epsilon$-稳定.

如果一个数列的前面几个数字相差非常大, 但到后面, 数字就开始收缩在一起了, 这时用$\epsilon$-稳定去描述它就不太够用了. 比如说$900, 90, 9, 0.9, 0.09, 0.009,\cdots$这样一个数列, 我们只能说它是810-稳定的, 可是当我们关注这个数列的最终走向时, 能够发现后面的数字都越来越相近而且越来越靠近0, 用“810”这个数字去描述显得过于粗糙了, 于是我们还得升级一下“$\epsilon$-稳定”这个概念.

（最终$\epsilon$-稳定） 序列{$a_n$}$\in\mathbb{Q}$, 当且仅当$\exist N \in \mathbb{N}^*, s.t.$子序列$a_N, a_{N+1}, a_{N+2},\cdots$是$\epsilon$-稳定的, 则称序列{$a_n$}是最终$\epsilon$-稳定的.

看刚刚的那个例子, 它只能说是810-稳定的, 但有了“最终$\epsilon$-稳定”的概念后, 我们可以说它是“最终0.081-稳定”（$N = 5$）, 如果再看更后面的项, 我们还可以说它是“最终$(8.1\times10^{3-n})$稳定”（$N = n$）, $n$取得越大, $\epsilon$就越小.

有了以上三个概念的导入, 我们就容易理解什么是有理Couchy列了.

（有理Couchy列） 序列{$a_n$}$\in\mathbb{Q}$, 当且仅当$\forall \epsilon > 0$, {$a_n$}都是最终$\epsilon$-稳定的, 则称序列{$a_n$}是有理Couchy列. 用严谨的数学语言描述：{$a_n$}$\in\mathbb{Q}$是有理Couchy列, iff. $\forall \epsilon>0, \exist N\in\mathbb{N}^*,\allowbreak s.t.\ \forall i, j>N,\allowbreak d(a_i,a_j) = |a_i-a_j| \leq \epsilon$.

本质上Couchy列就是要求这个序列在项数足够大以后, 后面的每一项, 两两之间都靠得足够近.

再来看上面那个例子. 我们已经分析出了它是“最终$(8.1\times10^{3-n})$稳定”, 当$N = n$时. 那么, 哪怕随便给一个小得不行的正数$\epsilon$, 只要我们取一个比较大的$N$使得$8.1\times10^{3-N} < \epsilon$, 我们就能说这个序列是“最终$\epsilon$-稳定”. 对照上面的定义, 我们可以说它就是一个有理Couchy列.

等价的Couchy序列

考虑以下两个Couchy序列：已知两个Couchy列, $$ 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159,\cdots $$ 以及 $$ 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, 3.1415926,\cdots. $$ 看起来它们都是逐渐趋近于圆周率$\pi$, 一个无限不循环小数. 我们应该如何描述这种“看起来似乎都会趋近于同一个值”的两个数列的关系呢? 既然这个所谓的“趋近”与距离有关, 我们可以尝试对这两个数列相同位置的项作差取绝对值, 于是又得到了一组有关于这两个数列的“距离数列”： $$ 0.14, 0.041, 0.0015, 0.00059, 0.000092, 0.0000026,\cdots $$ 可见该数列也是一个Couchy列, 而且给人一种要趋近到0的感觉.下面我们给出等价Couchy列的定义.

（等价Couchy列） Couchy列{$a_n$}, {$b_n$}相互等价, iff. $\forall \epsilon > 0, \exist N \in \mathbb{N}^*, \allowbreak s.t.\ \forall i>N, d(a_i,b_i) = |a_i - b_i| < \epsilon$.

你可能一下子不是很理解. 我们可以先来讨论那个老生常谈的问题：“$1$和$0.999\cdots$相等吗?”

作两个有理Couchy列： $$ \lbrace a_n \rbrace \colon 1.0, 1.00, 1.000, 1.0000,\cdots $$ 和 $$ \lbrace b_n \rbrace \colon 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,\cdots $$ 然后我们求出它俩的“距离数列”为： $$ \lbrace c_n \rbrace \colon 0.1, 0.01, 0,001, 0.0001,\cdots $$ 我们可以把套用上述定义的证明过程模拟为这样一个思想实验：首先随便取一个正数$\epsilon$, 不管其大小, 但是注意, 取了之后在本次实验中$\epsilon$的值就不能变了（你可以等下一次实验再给$\epsilon$取别的值）. 然后我们盯着这个$\epsilon$, 想要在那个距离数列里找到一个特别的位置. 这个位置实际就是一个分水岭, 因为排在它后面的所有数字都必须小于这个$\epsilon$. 数列通项公式为$c_i = |a_i - b_i| = \frac{1}{10^{i}}$, 越靠后的数字越小. 那这个位置很好找嘛, 比方说$\epsilon$取了个值是$0.01$, 那么排在第三及其以后的所有项都会小于这个$\epsilon$. 再下次做实验时, 也许一不小心取了$\epsilon = 0.424$, 不好意思, 所有的$c_n$都比它小. 再再下次, $\epsilon = 5\times10^{-100}$, 好吧已经非常非常小了, 但我们的数列也是无穷长的, 排在第101位的$c_{101} = \frac{1}{10^{101}}$比这个$\epsilon$还要小得多（更别说它后面的小弟了）……

如此你会发现, 只要任意给定一个正数$\epsilon$, 我们总能找到一个自然数$N, s.t.\allowbreak \forall i>N, c_i = |a_i - b_i| < \epsilon$. 所以, 数列{$a_n$}和数列{$b_n$}是等价的有理Couchy列.

好吧我还是没有回答“$1$和$0.999\cdots$相等吗”这个问题, 因为要严格证明两者相等还需要级数的知识, 在此不会讨论. 不过你也可以从这两个等价数列感受到两者有着形影不离的关系.

实数的构造

仿照前面有理数的定义来构造实数. 我们能够找到两个有理Couchy列满足等价的关系, 那么我们可以定义一种形式运算写作 $LIM_{n\to\infty}$.（也许可以读作“形式极限”, 注意这不是真正的极限运算.）$LIM_{n\to\infty} a_n = LIM_{n\to\infty} b_n$, 当且仅当{$a_n$}与{$b_n$}是等价的. 实数就被定义为形如${LIM}_{n\to\infty} a_n$的对象.

如此一来, 我们就用有理Couchy列的等价关系构造出了实数系.

接下来我们必须审视这种定义是否是有效的, 即通过这样的定义我们能否推出实数的几个重要性质：四则运算, 有序性, 连续性. 这里我就懒得不再赘述了, 详细可以参看原书. 我只简单说说我的感受：太天才了！句句不提$\epsilon$-$\delta$语言, 句句却都是极限.

一个新兵只有学习了Tao的实数论, 才会真正拥有上战场的勇气.

― 五星上将麦克阿瑟

公理方法

代表教材：《数学分析-第一卷》B.A.卓里奇⁵

苏联风就是力量, 简单明了的纯粹力量. 好吧, 管你什么奇技淫巧, 我全部总结为短短几条公理. 给我背住, 再以此推理出所需的性质就好了.

总的来说, 本书给出了如下的实数公理系统：

1. 加法公理
2. 乘法公理
3. 乘法相对于加法的分配律
4. 序公理
5. 加法与序关系的联系
6. 乘法与序关系的联系
7. 完备性（连续性）公理

满足以上所有公理的任何集合$\mathbb{R}$都是实数的一种表示（i.e.实数模型）.

方法优点：条理清晰简单明了.
方法缺点：纯逻辑推导的学习过程不符合人类一般思维; 公理系统的相容性、范畴性（是否是良定义的）亟待讨论.