本学期学习的常微分方程, 开始不久就是最基础的一阶线性微分方程, 即 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a(x)y + f(x). $$ $f(x) \equiv 0$, 上式则为齐次线性微分方程;
$f(x) \neq 0$, 上式则为非齐次线性微分方程.

齐次线性微分方程求解非常简单, 只需一步分离变量再积分即可. 对于非齐次线性微分方程, 我所了解的国内教材都用了“常数变异法”, 看得让人一愣一愣的. 一些国内教材补充了第二种更好理解的“积分因子法”. 下面我主要分享一下自己对“常数变异法”的理解.

先把教材的“常数变异法”贴在这里¹.

故齐次线性微分方程的通解为 $$ y = Ce^{\int a(x)\mathrm{d}x}, $$ 其中C为任意常数.
为了进一步求非齐次线性方程 $$ \begin{equation} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a(x)y + f(x) \end{equation} $$ 的通解, 我们的思想是把齐次线性方程的通解表达式中的常数$C$换成$x$的函数$c(x)$, 从而先求形如 $$ \begin{equation} y = c(x) e^{\int a(x) \mathrm{d}x} \end{equation} $$ 的解, 其中$c(x)$看成待定函数. 注意到 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} \cdot e^{\int a(x) \mathrm{d}x} + c(x) \cdot a(x)e^{\int a(x) dx}. $$ 将(2)代入方程(1)得 $$ \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} = f(x)e^{-\int a(x) \mathrm{d}x} $$ 两端积分, 得 $$ c(x) = \int f(x) e^{-\int a(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C, $$ 其中$C$为任意常数. 把上式代入(2), 便得非齐次线性方程(1)的通解 $$ y = Ce^{\int a(x) \mathrm{d}x} + e^{\int a(x) \mathrm{d}x} \int f(x)e^{-\int a(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x. $$

最让人难以理解的就是开头的“常数$C$换成$x$的函数$c(x)$”: 那些数学家怎么知道换掉常数就能得到通解呢？

抱着试一试的态度, 把处理齐次方程的分离变量法拿去处理非齐次方程 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a(x)y + f(x). $$ 因为 $f(x) \neq 0$, 所以 $y \neq 0$, 可以随便除, 于是原方程两边除以$y$得到 $$ \frac{\mathrm{d}y}{y} = [a(x) + \frac{f(x)}{y}] \mathrm{d}x, $$ 然后两端积分, 要注意$y$是关于$x$的函数（我下面写成了 $y(x)$）, 可以得到 $$ \ln |y(x)| = \int a(x) \mathrm{d}x + \int \frac{f(x)}{y(x)} \mathrm{d}x + C_1, $$ 从而解出 $y(x)$ $$ y(x) = e^{\int a(x) \mathrm{d}x} \cdot C_2 e^{\int \frac{f(x)}{y(x)} \mathrm{d}x}. $$ 我发现式子后半部分可以写成只关于$x$的函数 $c(x)$。这下终于有了大家喜闻乐见的 $y = e^{\int a(x) \mathrm{d}x c(x)}$.

必须承认“常数变异法”十分天才, 但我还是没能理解它背后的思想, 总感觉它是运气太好被偶然撞见的. 相比之下我觉得还是“积分因子法”更具有普适性.