要寻找可积函数类，必须从黎曼可积（以下简称可积）的定义出发。
可积的定义
$f(x)$在$[a,b]$上面有定义.
在$[a,b]$上取$n$个分点: $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$, 将它们叫做$[a,b]$的一个分割, 记作$\Delta$.
设 $\delta_i = |x_i - x_{i-1}|$, 即第$i$个小区间的长度.
设 $\lambda(\Delta) = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \delta_i$, 即整个分割$\Delta$中最长的那个区间的长度.
取 $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, 作和式
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\delta_i. \tag{$\star$}
\end{equation*}
$$
和式$(\star)$就叫做函数$f(x)$的一个黎曼和. 这个黎曼和很特殊, 因为它的值与$\xi_i$在$[x_{i-1},x_i]$上的选取、分割$\Delta$的选取都有关系.
如果$\xi_i$在$[x_{i-1},x_i]$上的选取是任意的, 那么和式$(\star)$就叫做函数$f(x)$的关于$\Delta$的黎曼和.（$\xi_i$的选取与这个黎曼和的值无关.）
如果$\xi_i$在$[x_{i-1},x_i]$上的选取是任意的, 而且分割$\Delta$的选取也是任意的, 并且狭义极限 $$ \lim_{\lambda(\Delta) \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\delta_i = I $$ 也存在, 那么和式$(\star)$的极限$I$就叫做函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分, 记作 $$ I = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x, $$ 这时我们称$f(x)$在$[a,b]$上是黎曼可积的.
注意黎曼和指的是和式$(\star)$本身, 而不是它可能存在的极限$I$.
可积的一个充分条件
$f(x) \in C[a,b] \Rightarrow f(x) \in R[a,b].$
可积的一个必要条件
一个初步的结论是: $f(x)$在$[a,b]$上无界, 则$f(x)$在$[a,b]$上黎曼不可积.可以想到, 无界意味着在$[a,b]$曲边梯形的面积无法计算.
这个结论的逆否命题是: $$ f(x) \in R[a,b] \Rightarrow f(x) = O(1) (x \in [a,b]). $$ 函数在指定区间上有界即函数在该区间上可积的必要条件.
可积的充要条件
要完全判断出一个函数的可积性, 我们需要回到之前的定义. 可以发现, 函数$f(x)$在$[a,b]$上可积, 等价于和式$(\star)$在下面“两个任意”的前提下有狭义极限存在: $\xi_i$在$[x_{i-1},x_i]$上的选取是任意的; 分割$\Delta$的选取是任意的.
达布（Darboux）解决这个问题的思想类似于序列和函数中上下极限的思想.
对任意的函数$f(x)$, 讨论其在给定区间$[a,b]$上的可积充要条件.
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任意选定一个$\Delta$，这个特殊的黎曼和就有了相应的上确界（所有的$\xi_i$都取那个小区间的最大值, 即满足 $f(\xi_i) = \max \limits_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$的那个$\xi_i$）, 也有了相应的下确界（所有的$\xi_i$都取那个小区间的最小值, 即满足 $f(\xi_i) = \min \limits_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$的那个$\xi_i$）.
将这个上确界定义为达布大和: $\overline{S}(\Delta) = \sum\limits_{i=1}^{n} M_i \delta_i$,
将这个下确界定义为达布小和: $\underline{S}(\Delta) = \sum\limits_{i=1}^{n} m_i \delta_i$. -
将这个$\Delta$细分, 即在原有基础上插入更多分点, 有$\Delta_1$, 再细分有$\Delta_2$……得到一列的分割${\Delta_n}$. 显然有 $\lim\limits_{n\to \infty} \lambda(\Delta_n) = 0$.
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按第一步那样找到每一个分割的上确界和下确界, 于是又有了一列的上确界${\overline{S}(\Delta_n)}$和一列的下确界${\underline{S}(\Delta_n)}$.
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可以证明这列上确界单调递减、下确界单调递增（细分的达布大和不增, 细分的达布小和不减）.于是就像以前的上下极限那样, 我们也把这里的单减列的下确界定义为上积分, 把单增列的上确界定义为下积分.
上积分: $\overline{\int_a^b} f(x) \mathrm{d}x = \inf_n{\overline{S}(\Delta_n)}$, 下积分: $\underline{\int_a^b} f(x) \mathrm{d}x = \sup_n{\underline{S}(\Delta_n)}$.
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如果f(x)有界, 那么有以下的可积充要条件: $$ \overline{\int_a^b} f(x) \mathrm{d}x = \underline{\int_a^b} f(x) \mathrm{d}x \triangleq I \Longleftrightarrow f(x) \in R[a,b], \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = I. $$