（摘抄）Ravi Vakil对于数学研究生的建议

2024-01-11

Ravi Vakil目前是一名斯坦福大学的数学教授，《给潜在的博士生》是他个人博客上很早就有的一篇文章，只是他最近刚刚当选AMS主席一职，许多数学博主都在对其进行介绍，我也就跟风去看了一下他的个人博客。以下是我对该文章的部分翻译，可供参考。（原文剩下部分是关于作报告和写作的，我感觉我还不够资格。）作者主页：https://math.stanford.edu/~vakil/ 原文地址：https://math.stanford.edu/~vakil/potentialstudents.html

给潜在的博士生

在后面几年，我也许会再招一些博士生，尽管我的名额可能有时候会满（比方说最近）。这篇博客本是写给那些考虑要与我合作的学生，不过这里也有一些对多数研究生都适用的小建议，以及我对于这些学生的期望。

代数几何（或至少我所理解的代数几何）是一门很需要技巧的科目，同时它也要求对于其他科目具有良好知识基础，还需要几何直觉。所以在我接收你之前，你应该在学习这门科目的基础部分时感到舒适，也就是说，你已经完成了Hartshorne的或说我的课程笔记上的大多数练习题，而且能够在需要时解释它们。（你不应该闭门造车，我将很高兴如果你能在这个学习过程中和我进行交流。）你也应该乐于去积极学习你所感兴趣的关联科目。究竟哪些科目？那得你说了算。如果你不乐于参加定期的会谈、对于你的方向以外的数学领域缺乏广泛的兴趣，或者如果你不想以一种非常严肃的方式去对待专业技巧，那么我很可能并不是一个适合你的合作者。

如果你对代数几何里的一些思想感兴趣，你也应该考虑其他一些导师。在我们系里有许多人都直接或间接地对代数几何思想感兴趣。你可以了解一下他们。不管你的导师是谁，我都很高兴可以和你交流。

作为导师我的个人风格

我喜欢提一些问题让你去思考，从一些小的、玩具性的问题开始（这种问题常常会发展成有趣的严肃研究）。你必须自己选择所要研究的问题，找到你自己的论文题目。数学不仅仅是关于如何回答问题的。更重要的，它是关于如何提出好问题的，而且这种提问的技术是很难掌握的。

我喜欢每一周都和我的学生当面交流一次（会有很多周例外）。如果你在某一周没有什么要汇报的，也许在那周你就不会想和我见面，但这些周的交流更是尤其的重要。

我刚成为一名年轻的父亲，遇到像这样的人来当导师，那么作为学生的你就得准备变得更加独立。

我将是一名严格的导师，比大多数的导师都更严格。

我对代数几何以及相近的问题有着相当广泛的兴趣。若要了解我所思考的东西，请看一看我曾经写的东西。然而，出于一些原因，里面有些东西可能不太适合博士生。我对很多东西都感兴趣。不过要能够指导这些东西的话，我也许不是那个理想人选。比方说，我将不会去指导一篇与我的方向不直接相关的论文。但是我绝不会要求你只能研究与我的方向直接相关的问题。

一般性的建议（对我自己的学生将尤其适用）

积极思考创造的过程。从本科生思维转变到积极的研究者思维需要一个巧妙的飞跃（即便你曾经做过本科生科研）。明晰这个过程，并且（向我和其他人）阐述它。比如，任何斯坦福大学的博士生，他们以前在上本科课程时都尝试过要完全掌握所有学习材料。但为了了解所有必需的知识，以便解决人类学术前沿的重要问题，一个人将不得不花费好几年的时间阅读许多的书和文章。所以你将必须换一种方式学习。不过到底要怎么去做呢？

不要太狭隘，不要只专注于你的某一个问题。站在整个领域甚至更高的领域的视角去学习。很可能在你的论文里，其他地方的事实、方法和观点将比你想的更能派上用场，你以后也绝对会清楚这一点的。广泛涉猎是学习如何提出有趣问题的好方法。

当你在学习一个理论时，你应该试着去计算一些简单的情况，想出一些明确的、基础的例子。

多和其他研究生交流。组织阅读小组。你也可以和博士后、老师、访问学者，甚至街上偶遇的人交流。我在交流中学到的东西是最多的。也许对你来说也是如此。

关于研讨会：

高年级的研究生都将证实一点，那些研究得最广最深的学生，和那些定期参加研讨会的学生，这两个群体之间有着很高的相关性。许多人错误地总结为，因为这个学生厉害所以他才去参加研讨会，但事实上的因果是与之相反的。
尽早地去参加研讨会，比你计划的还要早。千万不要只去那种你觉得和你做的东西（或者更确切地说，你当下觉得你正在做的的东西）直接相关的研讨会。你当然应该参加每一个有关代数几何的研讨会，也可能偶尔去一下其他研讨会。从研讨会中获取知识的能力需要后天的适应才能习得，通常这种能力会比从数学书中获取知识的能力来得更晚。你也许会觉得去参加一场你只听得懂5%内容的研讨会没有什么用，并且要等到你基本能听懂100%的内容时再去，但是没有任何一个人能够接近100%（哪怕是主讲人他自己），所以你还是应该去参加。
尽量跟着讲话内容的主线走。当你不知所云时，尝试再次跟上节奏。（这种情况不会总是发生的，而且坦白地说，这经常都是主讲人的问题。）
在讲话的最后，你应该问问自己：这位主讲人是在尝试回答什么问题？为什么我们要去关注这个问题？主讲人证明了什么样的结果？我能不能举出关于所讨论现象的小例子？你甚至可以在讲话开始时随便记下这几个问题，然后在讲话的过程中简要写下答案。
尝试从一场讲话中提取出三个你想知道其定义的词语（不管它们和当下主题的关系有多么浅）。在讲话结束后，你可以来问我。（一般来说，每次研讨会后你尽管来联系我。我应该会告诉你一些关于这场讲话的有趣的东西。）
看看这场讲话是不是给你上了一课（广义上来说）。如果你每去一场都能设法学到点东西，那么随时间推移，你就会得到特别大的收获，虽然你得在好一段时间以后才能意识到。（如果你从某场讲话中学不到数学知识，你就想想这个主讲人应该做点什么别的事来让你学有所获。想一想到底是什么导致这场报告变糟糕的，你就能学到如何作一场成功的报告。）
尽量在每一个研讨会都能提出一个问题，可以是讲演期间去问，也可以讲演结束后私下去问。努力去阐述出一个有趣的问题（于你，而不是主讲人）是一项很值得的练习，而且能让你集中注意力。
我惊讶地发现了以下的现象：你去听了别人的报告，听到了各种各样的词语，你也不确信你知道这些词语的定义。某些时候，你将能够用这些词语造出一个句子。你不知道这些词语的意思，但你就是知道这个句子是对的。你也能够使用这些词语提出一个问题。你仍然不知道这些词语的意思，但你就是知道这个问题很有趣，你还想知道它的答案。后面你会更准确地了解到这些词语的含义，你理解如何将它们结合在一起，这种理解会让你了解的过程更加简单。出现这种现象的原因是，数学世界是如此的丰富，根本没有边界，所以不可能去系统地学习它，如果你等到掌握完一个主题的内容后才开始学习下一个主题，那你将会一无所成。相反地，你要把你知识的触须伸出舒适区。之后你再用这些触须回填遗漏的坑，从而扩大你的舒适区。这样要比“单方向线性”的学习要容易许多。（注意：上面说的“回填”是必需的。炫酷的词语会诱惑你，你大量地了解它们，并且想用它们组成炫酷的句子，但你却说不出这个句子准确的意思。你确实有这么做的自由，但你应该在这样做的时候感到强烈的内疚。）
你的论文要研究的问题很可能就是来自于你参加研讨会时冒出来的想法。
尽可能去参加研讨会的晚宴，尽管那听起来挺吓人的而且也没有其他人要去。
经常去参加学术会议，这样你就能恰当地了解到数学其他方向的发展现状。你将对那些可能会与你的研究产生联系的工作感到惊喜。这种事情只有发生在你身上了你才会相信，而且只有你去参加了学术会议这种事情才有可能发生。其他领域的研讨会也是如此。